Population, probabilité et échantillon
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Population, probabilité et échantillon#
Expérience aléatoire#
On définit une expérience aléatoire comme un processus qui va donner des résultats imprévisibles à l’avance 1. Il est important de remarquer que dans le cadre des sciences expérimentales une expérience ne définit donc pas uniquement le phénomène physique que l’on étudie, mais aussi le matériel utilisé et la façon dont les données sont “reçues” par l’expérimentateur puisque les instruments de mesures sont aussi à l’origine de fluctuations statistiques ou d’erreurs de mesure.
Univers et évènements#
L’ensemble des résultats possibles d’une expérience est appelé univers des possibles. Cet ensemble dépend bien de l’expérience, mais aussi de la façon de lire les “résultats”. Donnons ici quelques exemples d’univers liés à des expériences simples :
Prenons un dé à 6 faces simple: si on considère l’expérience consistant à lancer le dé et prendre comme résultat de l’expérience la valeur du dessus du dé, l’univers des possibles est donc l’ensemble des nombres entiers de 1 à 6. Si on prenait la face du dessous comme résultat, nous aurions le même univers. En revanche si nous prenions la valeur du dessus multipliée par 2, l’ensemble des possibles serait différent i.e. l’ensemble des entiers naturels pairs de 2 à 12.
Nous avons à notre disposition une pièce avec une tranche infiniment fine2: on la lance et on regarde la face du dessus. Les résultats possibles sont “pile” ou “face”. Si en revanche la tranche n’est pas infiniment fine, les résultats possibles sont “pile”, “face” ou “tranche”.
On demande à une personne de choisir un nombre entier positif au hasard; l’ensemble des possibles est l’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\).
On lance un objet en l’air. On peut alors mesurer la vitesse initiale de la pomme, ou bien son énergie cinétique ou encore son accélération initiale: toutes ces mesures définissent des expériences différentes et donc des univers des possibles différents même si l’expérience commence toujours par un lancer de pommes.
Lorsqu’on définit l’univers des possibles, les résultats qui sont impossibles ne sont pas inclus dans l’univers.
Un évènement est une proposition portant sur le résultat d’une expérience associée qui est soit vraie, soit fausse. Reprenons quelques-uns des exemples ci-dessus:
Dans le cas du lancer d’un dé à 6 faces, on peut définir l’évènement “la valeur du dessus du dé est 6”: cette proposition est vraie si le résultat du dé est 6 et “fausse” si le dé montre 1, 2, 3, 4 ou 5.
Comme pour le lancer d’une pièce, la proposition “la pièce est tombée sur “face” définit un évènement.
Pour les mesures de quantités “continue” comme la position ou la vitesse d’un objet, les évènements peuvent être définis par les valeurs maximales comme, par exemple, “la vitesse de la pomme est supérieure à \(2~\mathrm{m/s}\)” ou bien “la pomme se trouve entre \(2~\mathrm{m}\) et \(3~\mathrm{m}\) du sol”.
Les évènements permettent de diviser l’univers en deux sous-ensembles de résultats. Pour un évènement \(\mathcal{A}\), l’ensemble des éléments de l’univers pour lesquels \(\mathrm{A}\) est vrai est noté \(A\). \(\overline{A}\) définit donc l’ensemble des éléments de l’univers pour lesquels \(\mathcal{A}\) est faux.
Définition intuitive des probabilités#
En général, nous n’avons pas accès à l’univers des possibles lui-même mais plutôt à des valeurs discrètes de celui-ci. Lorsqu’on choisit un nombre entier naturel, on obtient seulement un nombre parmi cet ensemble. Lorsque l’expérience est répétée, on appelle échantillon l’ensemble des résultats obtenus par ces répétitions. Par exemple, si on répète 5 fois un lancer de pièces infiniment fines, un échantillon possible est une séquence de 5 résultats individuels d’expérience comme {pile, face, pile, face, face}.
On se doute bien que toutes les valeurs d’un univers des possibles ne vont pas être obtenues avec la même fréquence. On appelle probabilité d’une valeur \(x\) ou d’un ensemble de valeurs de l’univers des possibles la fréquence d’apparition de ces valeurs
avec \(n(x)\) le nombre d’occurrence de \(x\) et \(N\) le nombre de répétitions de l’expérience. Cette définition dite “fréquentiste” est très utile en physique expérimentale puisqu’elle permet de relier les répétitions d’expérience (et donc des échantillons) à une propriété de l’univers associé.
On sent bien que la définition de la probabilité comme fréquence d’apparition d’un résultat d’une expérience ne fait du sens que pour des expériences supposées répétables comme la mesure de la probabilité de faire “pile” lors du lancer de pièce, le nombre d’aiguilles dans des bottes de foin ou la mesure de la vitesse de pommes tombant d’un arbre. Ces expériences peuvent être reproduites relativement bien et il est alors possible d’extraire un nombre d’occurrences d’un résultat. Cependant, il est possible de définir des probabilités pour les évènements uniques passés, comme le fait que la Reine d’Angleterre portait un chapeau le 13 mai 2020, et futurs, comme le temps qu’il fera dans 72h. Dans ces cas, l’expérience ne peut pas se reproduire puisqu’il n’y a qu’un seul 3 mai 2020: il est nécessaire de se donner des modèles statistiques plus poussés. Par exemple, dans le cas d’évènements futurs, on a souvent recours à des méthodes plus complexes basées sur des simulations (météorologiques dans le cas de la météo) utilisant les informations disponibles à un moment donné pour en déduire la probabilité d’un évènement futur : ces méthodes sont donc utiles notamment dans le cas où la reproduction des mesures est difficile.