Ajustement avec des données sans erreurs

S’il s’agit de réduire l’écart entre \(N\) points de données \(\left\{y_i\right\}\) obtenus pour des valeurs \(\left\{x_i\right\}\) et le modèle \(f\) évalué au valeurs \(\left\{x_i\right\}\), une quantité possible 1 est:

(67)\[\begin{equation} R^2 = 1- \frac{\sum _{i=1}^N\left(f(x_i; \alpha,\beta,...) - y_i\right)^2}{\sum _{i=1}^N\left(\bar{y}-y_i\right)^2}, \end{equation}\]

où \(\bar{y}\) est la moyenne des mesures \(\left\{y_i\right\}\). Cette quantité \(R^2\) est appelée coefficient de détermination et est sans unité. Le numérateur correspond à la variance total des données par rapport au modèle et le dénominateur à celle des données par rapport à leur moyenne: pour un jeu de données fixé, le dénominateur est constant. Puisque les valeurs de \(x_i\) et \(y_i\) sont fixées, la fonction \(R^2\) dépend effectivement uniquement des paramètres \(\alpha\), \(\beta\)… de la fonction \(f\).

L’objectif est alors de trouver les valeurs de \(\alpha\), \(\beta\)… qui minimisent la quantité \(R^2\) et donc réduire l’écart quadratique entre le modèle et les données. Pour cela, on peut utiliser la librairie scipy.optimize qui contient des fonctions permettant de faire ce type de minimisation. Notamment, scipy.optimize.curve_fit permet de faire des ajustements pour des modèles \(f\) quelconques alors que scipy.optimize.linregress permet de faire des ajustements pour des modèles de la forme \(f(x) = a\times x+b\). La valeur de \(R^2\) obtenue pour les valeurs de paramètres qui la minimisent permet d’avoir un ordre de grandeur de la qualité de l’ajustement: l’ajustement d’un modèle présentant un \(R^2\) minimal loin de 1 est moins bon que celui pour lequel \(R^2\approx 1\).

Exemple: Ajustement linéaire simple

On considère des données sous la forme du tableau ci-dessous:

Table 1 Jeu de données linéaires

\(x_i\)	\(y_i\)
1.0	1.2
2.0	1.6
3.0	1.7
4.0	2.2
5.0	2.3
6.0	2.4
7.0	3.1
8.0	3.3
9.0	3.1
10.0	3.7

Il s’agit de paires de deux mesures \(x_i\) et \(y_i\) reliées par la relation:

(68)\[\begin{equation} y_i = a\times x_i + b. \end{equation}\]

Le coefficient de détermination que l’on va minimiser vaut:

(69)\[\begin{equation} R^2 = 1- \frac{\sum _{i=1}^N\left(a\times x_i+b - y_i\right)^2}{\sum _{i=1}^N\left(\bar{y}-y_i\right)^2}. \end{equation}\]

Le graphique ci-dessus montre que le modèle s’ajuste bien aux données; le coefficient de détermination \(R^2\) obtenu vaut 0.96.

from scipy.stats import linregress
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt # importer maplotlib

fig, ax = plt.subplots() # creation d'un plot
x = np.array([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0])
y = np.array([1.2, 1.6, 1.7, 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.3, 3.1, 3.7])

pente, intercept, r2, _, _ = linregress(x, y) # regression lineaire
print("Fonction minimisant R^2: y = {:.2f}*x+{:.2f}"
       .format(pente, intercept))
print("Valeur de R^2: {:.2f}".format(r2**2))

plt.plot(x, y, 'o', label='données')
plt.plot(x, x*pente + intercept, 'r', label='modèle ajusté')
ax.set_xlim(left=0.) # choisir xmin = 0
ax.set_ylim(bottom=0.) # choisir ymin = 0
_ = plt.legend() # affichage legende

Fonction minimisant R^2: y = 0.27*x+1.00
Valeur de R^2: 0.96

Le coefficient de détermination \(R^2\) correspond à la corrélation entre les valeurs prédites par le modèle et les données obtenues: c’est donc un bon indicateur pour l’accord entre des données et un modèle, notamment dans le cas où l’on n’a pas d’erreurs sur les points de données.

---

1

L’ajustement de données utilisé par le logiciel Excel utilise cette quantité.